Schwere, Elektricität und Magnetismus:029

Anziehung einer Kugelschale etc.

<section begin=t1 />ziehenden Masse in unendlicher Entfernung liegt, so ergibt sich unmittelbar aus der Definition [§. 2, Gleichung (5)], dass $V=0$ ist für $s=\mathrm{\infty }$. Folglich ist jetzt $\beta =0$. Um $\alpha$ zu bestimmen, stellen wir folgende Betrachtung an.

Vorlage:Idt2Der angezogene Punkt, welcher vom Anfangspunkte der Coordinaten um die Strecke $s$ entfernt ist, hat von den einzelnen Punkten der Kugelschale verschiedene Abstände. Der grösste Abstand ist $s+q$, der kleinste $s-q$. Man hat also die doppelte Ungleichung

Vorlage:MathForm1

Wir multipliciren an allen drei Stellen mit $\rho dadbdc$ und integriren über die gesammte anziehende Masse. An der mittleren Stelle ist das Resultat $=V$. An den beiden äusseren Stellen kann man die Nenner $s-q$ und $s+q$, die bei der Integration constant bleiben, vor das Integralzeichen nehmen. Beachtet man also, dass

Vorlage:MathForm1

d. h. gleich der gesammten anziehenden Masse ist, so ergibt sich

Vorlage:MathForm1

Nun ist aber $V=\frac{\alpha }{s}$, folglich

Vorlage:MathForm1

Diese Ungleichung gilt für jedes $s$, das grösser als $q$ ist, also auch für $s=\mathrm{\infty }$. Sie geht aber für $s=\mathrm{\infty }$ über in die Gleichung

Vorlage:MathForm1

Folglich ist die Potentialfunction der Kugelschale von der Masse $M$ in Beziehung auf einen Punkt im äusseren Raume

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2In der Richtung des Radius vector wirkt die Kraft

Vorlage:MathForm1

<section end=t1 />