RE:Geometria

Vorlage:REDaten Geometria, Vorlage:Polytonisch, ist etymologisch die Erdmessung, einschließlich der Vermessung des bebauten Landes.

1. Doch ist ähnlich wie bei der Arithmetik (o. Bd. II S. 1067) der übliche Gebrauch des Wortes von dem ursprünglichen zu unterscheiden. Die Landvermessung wurde Vorlage:Polytonisch benannt, während Vorlage:Polytonisch die rein theoretische Wissenschaft von den Linien, Flächen und Raumgebilden, sowie deren Größen und wechselseitigen Verhältnissen bedeutete, Vorlage:RE siehe bei Procl. in I. elem. 38, 10–12. 16f. Friedl. Vorlage:RE siehe zu Plat. Charm. 165 E (p. 290f. Herm.). So hat auch Geminos in der Vorlage:Polytonisch bei Vorlage:RE siehe a. a. O. 38, 4–12 die Arithmetik und G. der Vorlage:Polytonisch zugeordnet und diesen als solche Wissenschaften, die auf die Vorlage:RE siehe gerichtet sind, die Mechanik, Astronomie, Optik, Geodäsie usw. gegenübergestellt. Nach Ptolem. synt. I 6, 17–21 Heib. führt nur das Vorlage:Polytonisch zu einer sichern und zweifellosen Erkenntnis, und dessen Teile sind die Vorlage:Polytonisch und Vorlage:Polytonisch. Nikom. arithm. introd. Vorlage:Seite I 3, 2 stellt der G. als der Lehre von den ruhenden Größen die Sphärik gegenüber, welche sich mit rotierenden Größen beschäftige.

Darüber, wie im Altertum G. und Arithmetik als abstrakte Wissenschaften einander berührten, und wie besonders Probleme, die auf arithmetischem Wege nicht erledigt werden konnten, durch geometrische Darstellung gelöst wurden, gibt einige beachtenswerte Winke Vorlage:SperrSchrift Kopenhagen Bull. de l’Académie des sciences 1893, 330ff. und handelt darüber ausführlich in seiner Hist. des mathém. 34ff.

2. Über die Entwicklung der älteren G. hat uns Procl. in I. elem. 64, 7–68, 4 einen wertvollen Abriß aufbewahrt, den er aus der Vorlage:Polytonisch des Geminos entnommen und dieser wiederum von dem Peripatetiker Eudemos von Rhodos, einem Zeitgenossen des Theophrast, entlehnt hatte. Vorlage:SperrSchrift Géom. grecque 66ff. [[Karl Tittel|Vorlage:SperrSchrift]] De Gemini stud. mathem. 81 (doch durfte nicht auch Procl. 68, 4–69, 4 auf Eudemos zurückgeführt werden, denn hier handelt es sich um Mathematiker, die erst nach jenem gelebt haben). Danach ist die G. von den Ägyptern, und zwar zuerst als Feldmeßkunst, um nach den Überschwemmungen des Vorlage:RE siehe die früheren Feldmarkungen wiederherzustellen, erfunden worden, wie auch Vorlage:RE siehe geom. cap. 2, ebenfalls aus Eudemos, berichtet. Dann hat Vorlage:RE siehe die Kenntnis der ägyptischen G. nach Griechenland übertragen, selbst vieles neu gefunden und die weiteren Fortschritte dieser Wissenschaft vorbereitet. Ferner werden als namhafte Geometer in chronologischer Reihenfolge aufgeführt Mamertios, der Bruder des Dichters Vorlage:RE siehe, Vorlage:RE siehe, Anaxagoras, Vorlage:RE siehe, Vorlage:RE siehe, Vorlage:RE siehe, Platon, Leodamas, Archytas, Vorlage:RE siehe, Vorlage:RE siehe, Leon, Eudoxos, Amyklas, die Brüder Menaichmos und Deinostratos, Vorlage:RE siehe, Athenaios von Kyzikos, Hermotimos, endlich Philippos, ein Schüler Platons, der letzte, den Eudemos noch gekannt hat, Procl. in I. element. 64, 18–68, 4. Die Namensform Vorlage:Polytonisch ist in den Auszügen aus Eudemos in den Variae collectiones, Anhang zu Heronis Alex. geom. 253, 2 Hu., erhalten, während bei Procl. 65, 12 Vorlage:Polytonisch überliefert ist.

Dieses Verzeichnis hat dann Geminos weiter für die Zeiten nach Eudemos fortgesetzt. Nicht viel jünger als die Mathematiker aus der Schule Platons war Eukleides; hierauf werden noch Eratosthenes und Archimedes angeführt, Procl. 68, 4–69, 4. Vorlage:SperrSchrift Géom. grecque 71ff.

3. Es würde mit der Anlage einer Realencyklopädie unvereinbar sein, wollten wir in Anlehnung an Eudemos und Geminos einen Überblick über die Geschichte der griechischen G. geben. Dafür sind bereits eingetreten oder werden noch eintreten die Artikel über die einzelnen Geometer. Anlangend die Blütezeit der griechischen G. ist auf Eudoxos und Eukleides, sowie betreffs der älteren G. auf Vorlage:SperrSchrift Die Geometrie und die Geometer vor Eukleides und Vorlage:SperrSchrift Greek Geometry from Thales to Euklid zu verweisen.

Nur einige Materien allgemeinen Inhalts, die sich nicht streng an einzelne Autoren anschließen, werden im folgenden berührt werden.

4. Proklos zu elem. I 211f. unterscheidet drei Methoden der geometrischen Beweisführung, die Vorlage:Seite analytische, die trennende (Vorlage:Polytonisch) und die apagogische. Hierzu ist nach Papp. synag. VII 634–636 noch die synthetische Methode als Gegenstück der analytischen zu fügen.

Als die trennende Methode (Procl. 211, 23–212, 1) ist wohl anzusehen das bei allen Geometern übliche Verfahren, ein allgemeines Problem, z. B. über die Vielecke, in Einzelprobleme zu zerlegen und dabei mit den verschiedenen Arten der Dreiecke zu beginnen, dann zu den Vierecken und nach Bedarf weiter zu anderen Vielecken fortzuschreiten. Etwa in besonderen Fällen sich bietende Schwierigkeiten werden durch Zwischenbeweise beseitigt.

Das Wesentliche der analytischen Beweisführung ist mehrfach in den Artikeln Vorlage:SperrSchrift und Vorlage:SperrSchrift berührt worden. Bei der Analysis, sagt Papp. synag. VII 634, setzen wir das, was wir suchen, als schon beigebracht voraus und untersuchen, auf welchem Wege dies zu stande gekommen ist, schreiten dann zurück zu den vorhergehenden Voraussetzungen, bis wir zu einem Punkte gelangen, der schon bekannt ist oder nach den allerersten Voraussetzungen (u. § 13) feststeht. Das ist die Analysis oder rückwärts schreitende Lösung. Hierauf folgt die Umkehr des Beweises durch die Vorlage:RE siehe, wobei das in der Analysis zuletzt Ermittelte an den Anfang gestellt und von da der Beweis Schritt für Schritt fortgeführt wird, bis wir schließlich zu jenem Punkte gelangen, den wir anfänglich als schon festgestellt angenommen hatten; vgl. Diog. Laert. III 24 (o. [[RE:Eudoxos 8|Vorlage:SperrSchrift]] § 6). [[Moritz Cantor|Vorlage:SperrSchrift]] Vorles. über Gesch. der Mathem. IVorlage:Sup 207ff. Vorlage:SperrSchrift Hist. des mathém. 75ff.

Die apagogische Beweisführung erklärt Proklos 212, 1–4 als die Zurückführung auf etwas Unmögliches. Sie beweist das Gesuchte nicht unmittelbar, sondern widerlegt das Entgegenstehende und findet so accidentiell die Wahrheit. In den Artikeln Vorlage:SperrSchrift und Vorlage:SperrSchrift ist an verschiedenen Stellen bemerkt worden, daß nach Vorlage:SperrSchrift Hist. des mathém. 80ff. 136ff. die apagogische Form zurückzuführen ist auf die Exhaustionsmethode der Neueren.

5. Anaximandros von Milet (610 bis ungefähr 545), Schüler und Nachfolger des Thales, hat nach Suidas außer der Einrichtung des Gnomon auch eine allgemeine Vorlage:Polytonisch bekannt gegeben. Abweichend von Vorlage:SperrSchrift Geometrie vor Euklides 63 ist das Wort Vorlage:Polytonisch ohne Zweifel in demselben Sinne zu nehmen, wie später Proklos in seiner Vorlage:Polytonisch ([[Friedrich Hultsch|Vorlage:SperrSchrift]] Abhdl. Ges. der Wiss. Göttingen N. F. I 5 [1897], 9 a. E.) es aufgefaßt hat. Es war ein Abriß der G.; nur bleibt es zweifelhaft, ob Anaximandros selbst einen solchen Abriß abgefaßt und herausgegeben hat oder ob in seiner Schule die Erinnerung daran sich fortgepflanzt und spätere Mitteilungen darüber veranlaßt hat. Das Vorlage:Polytonisch des Suidas spricht eher für die letztere Auffassung.

Die Nachweise über die geometrische Tätigkeit des (älteren) Anaximandros sind o. Bd. II S. 2085 nachzutragen.

6. Die ersten Elemente der G. sind nach Eudemos bei Procl. in I. elem. 66, 7 von Hippokrates von Chios verfaßt worden. Nächstdem Vorlage:Seite soll Leon auf demselben Gebiete sich verdient gemacht haben (ebd. 66, 20). Auch Theudios wird wegen einer vortrefflichen Darstellung der Elemente gerühmt (67, 14). Über alle diese Schriften fehlen uns nähere Mitteilungen; es ist aber wohl anzunehmen, daß sie sowohl nach Form als nach Inhalt hinter dem späteren Werke, das Euklid uns hinterlassen hat, zurückstanden. Betreffs der Sätze, die dem Hippokrates bei der Quadratur der Lunula bekannt gewesen sein müssen, vgl. Vorlage:SperrSchrift Greek Geometry 75–77. Die Probleme 15 und 26 des ersten Buches des Euklid sollen zuerst von Thales, die Probleme 12 und 23 von Oinopides (um 430 v. Chr.) aufgestellt worden sein, Procl. in I. elem. 283. 299. 333. 352. Vorlage:SperrSchrift Géom. grecque 88–90.

Da es feststeht, daß Euklid (s. d. § 7) im ganzen mehr Bearbeiter als Erfinder der Elemente gewesen ist, so treten uns in seinem großen Werke allenthalben die Spuren der Tätigkeit früherer Geometer entgegen (o. [[RE:Eukleides 7|Vorlage:SperrSchrift]] § 8. 13. 15–31). Die Bücher I, II und IV sind in der Hauptsache auf Pythagoreische Lehre zurückzuführen. Buch III enthält Elementarsätze, die seit Thales Gemeingut der griechischen Geometer waren. Der Inhalt von Buch V und zum Teil auch von VI rührt von Eudoxos her; für Buch X und XIII sind die Pythagoreer, Theaitetos und Eudoxos maßgebend gewesen.

Genauere Nachweise über eine Reihe von Elementarsätzen, die längere oder kürzere Zeit vor Euklid bekannt gewesen und von den damaligen Mathematikern angewendet worden sind, waren aus der sog. Sphärik des 4. Jhdts. (oben [[RE:Eukleides 7|Vorlage:SperrSchrift]] § 46) zu entnehmen. Vorlage:SperrSchrift Ber. Ges. der Wissensch. Leipzig 1886, 136ff. 153–155.

Fünf Sätze über einige wechselseitige Verhältnisse bei Kegeln und Zylindern, die wir als die 11. bis 15. Proposition des zwölften Buches der Elemente Euklids zu zitieren pflegen, sind nach Archim. de sphaer. et cyl. I 16 Lemma 1–5 schon von den Vorgängern Euklids bewiesen worden (Vorlage:Polytonisch); vgl. o. Vorlage:SperrSchrift § 7. Vorlage:SperrSchrift The Works of Archimedes XLIX.

7. Die Aufgabe, einen Winkel in drei gleiche Teile zu zerlegen (Vorlage:Polytonisch, trisectiο), konnte durch die elementare G., der nur Lineal und Zirkel zu Gebote standen, nicht gelöst werden. Hippias von Elis (s. d.) hat zu diesem Zwecke eine Kurve erfunden, welche durch Verbindung zweier Bewegungen, einer drehenden und einer fortschreitenden, erzeugt wurde und mit deren Hilfe jeder Winkel in drei oder mehr gleiche Teile, oder überhaupt in beliebig viele Teile, die zu einander in gegebenen Verhältnissen stehen sollten, geteilt werden konnte. Papp. synag. IV 252 Hu. Vorlage:SperrSchrift Vorles. über Gesch. der Math. IVorlage:Sup 184f. Vorlage:SperrSchrift Hist. des mathém. 62f.

Unter den Lemmata (liber assumptorum) des Archimedes (s. d. § 19) zielt, wie es scheint, der achte Satz auf die Dreiteilung des Winkels hin. Archimedes hat dabei, wie Vorlage:SperrSchrift Hist. 64f. nachweist, die Methode der Interkalation angewendet, indem er einen außen an den Kreis sich anlehnenden Winkel DEF als gleich je der Hälfte eines zweiten und dritten Winkels und hiernach gleich dem Drittel des Zentriwinkels ABC nachweist. Zu demselben Zwecke hat Vorlage:RE siehe (s. d.) Vorlage:Seite seine Muschellinie (Vorlage:Polytonisch oder Vorlage:Polytonisch) erfunden, Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 114ff. Heib. Vorlage:SperrSchrift 67. Auch die Efeulinie (Vorlage:Polytonisch) des Diokles (o. Bd. V S. 813f.), auf die wir bei der Vorlage:RE siehe zurückkommen werden, konnte zur Dreiteilung des Winkels verwendet werden, Vorlage:SperrSchrift a. a. O. 338f.

8.–12. Würfelverdoppelung. Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen.

8. Der Geograph Eratosthenes, der unter Ptolemaios III. Euergetes (247–221) als Vorsteher der Bibliothek von Alexandreia wirkte, hat in einem Schreiben an Ptolemaios über das sog. delische Problem berichtet. Die Aufgabe, einen gegebenen Würfel zu verdoppeln, war schon durch Hippokrates von Chios gelöst worden. Später sollen die Delier es geplant haben, einen ihrer Altäre zweimal so groß, als bisher, herzustellen. Sie hätten sich daher an Platon und die Geometer in der Akademie gewendet und, wie aus einem späteren Teile des Berichtes hervorgeht, durch Platon die gewünschte Lösung empfangen. Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 102ff. Heib. Theo Smym. 2 Hiller (aus dem Vorlage:Polytonisch des Eratosthenes). Plut. de genio Socr. 579 B. C; de E apud Delphos 386 E. Ioann. Vorlage:RE siehe in Aristot. analyt. post. I 7. v. [[Ulrich von Wilamowitz-Moellendorff|Vorlage:SperrSchrift]] Nachr. Ges. d. Wiss. Göttingen 1894, 15ff. Vorlage:SperrSchrift Das delische Problem, Progr. Gymn. Seitenstetten 1895, 5ff.

9. Hippokrates hatte gefunden, daß man, um zu einem gegebenen Würfel einen doppelt so großen zu konstruieren, zwischen den Größen 1 und 2 zwei mittlere Proportionalen einschieben müsse; der Kubus der ersteren mittleren Proportionale werde dann der gesuchte Würfel sein. Es war ihm also schon der Satz bekannt gewesen, der uns bei Eukl. elem. XI 33 (vgl. dazu das coroll. und V def. 10) überliefert ist. Keine Schwierigkeit hätte die Aufgabe gemacht, einen achtmal so großen Würfel herzustellen; denn zwischen 1 und 8 sind die zwei mittleren Proportionalen 2 und 4 und 2Vorlage:Sup ist = 8. Wurden aber andere Zahlen aufgegeben, so verzichteten die älteren Geometer auf die direkte arithmetische Lösung, bestimmten also nicht, wie das delische Problem es verlangte, die Größe $\sqrt[3]{2}$, sondern suchten auf verschiedenen Wegen, indem sie die Größen 1 und 2 als Gerade setzten, zwischen ihnen die zwei mittleren Proportionalen zu konstruieren und den Kubus der ersten Proportionale als den doppelt so großen Würfel nachzuweisen.

10. Es ist hierbei noch besonders darauf hinzuweisen, daß jede Zahl allgemein als Größe im Sinne von Eukl. elem. V def. 1–10 (vgl. oben [[RE:Eukleides 7|Vorlage:SperrSchrift]] § 15) zu gelten hat und insbesondere ebensowohl als Längen- wie als Flächendimension oder auch als Körperzahl angesehen werden kann. Als Beispiel diene 64. Das bedeutet entweder 64 Längeneinheiten oder ein Quadrat, dessen Seite 8 Längeneinheiten hält, oder einen Würfel mit einer Kante von 4 Längeneinheiten oder auch beliebige Flächen oder Körper, die den erwähnten Quadraten oder Würfeln gleich sind.

Allgemein wird also der Satz der Proportionalität lauten: Zwischen zwei gegebenen Zahlen Vorlage:Seite oder Geraden oder Flächen oder Körpern können beliebig viele proportionale Zahlen oder Gerade oder Flächen oder Körper in stetiger Analogie eingefügt werden.

Demnach kann man dem Erklärungsversuche von Vorlage:SperrSchrift Über zwei Stellen in Platons Timäus, Progr. Grimma 1898, keine Folge geben. In der Formel $a:x=x:y=y:2a$ sollen die Größen $a$ und $2a$ Körper, dagegen $x$ und $y$ Gerade sein. Das ist unannehmbar und damit fällt alles übrige, was der Verfasser vorschlägt, zusammen. Auch wenn man Zahlen wählt, z. B. 1 und 8, so sind zunächst sowohl 1 und 8 als auch die mittleren Proportionalen 2 und 4 als Körperzahlen anzusehen, die sich nach der stetigen Proportion 1:2 als rechtwinklige Parallelepipede a) mit der Höhe 1, Breite 1 und Länge 2, b) mit der Höhe 1, Breite 2 und Länge 2 zwischen die Würfel 1 und 8 einschieben. Vgl. Plat. Tim. 31 B–32 B. Es ist aber auch nach dem allgemeinen Brauche der alten Geometer gestattet, für die Größen 1, 2, 4, 8 gerade Linien als Vorlage:RE siehe zu wählen, und dann wird die erste mittlere Proportionale, in die dritte Potenz erhoben, die Größe 8 ergeben. Ähnlich verhält es sich in allen anderen Fällen, Archim. de sphaer. et cyl. II 222, 20. 224, 5 u. a. Vgl. [[Friedrich Hultsch|Vorlage:SperrSchrift]] zu Procl. in Plat. remp. II 404f. Kroll. [[Siegmund Günther|Vorlage:SperrSchrift]] Berliner Philol. Wochenschr. 1898, 1569f.

Dabei bleibt der eben angeführte allgemeine Satz der Proportionalität unangetastet, und es sind daher die von Procl. in Tim. II 31ff. Diehl erwähnten Einwendungen zu beurteilen, daß zwischen zwei Kubikzahlen auch Vorlage:SperrSchrift mittlere Proportionale und zwischen zwei Quadratzahlen zwei oder mehrere Proportionalen eingeschoben werden können. Das von Demokrit erhobene Bedenken ist von diesem selbst im Sinne Platons beseitigt worden, Procl. ebd. 33, 13–28.

11. Wir führen nun die verschiedenen, von den alten Geometern versuchten Lösungen des delischen Problems in chronologischer Reihenfolge auf.

I. Hippokrates von Chios. Eratosthenes bei Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 104, 11–16 Heib. Procl. in I. elem. 213, 7–9.

II. Auch die Pythagoreer haben sich schon mit diesem Probleme beschäftigt. Wie Eudemos berichtete, hat Archytas die Aufgabe durch den Schnitt eines Halbzylinders gelöst, Eutoc. a. a. O. 98, 18–102, 19. 106, 3f. Vorlage:SperrSchrift Vorles. über Gesch. der Mathem. IVorlage:Sup 215–217. Vorlage:SperrSchrift Hist. des mathém. 69–71. Vorlage:SperrSchrift Das delische Problem I 22ff. Vorlage:SperrSchrift Modena Accad. di Scienze X, ser. II (1893) 93ff.

III. Platons Verfahren (Eutoc. 66–70) war, wie Vorlage:SperrSchrift a. a. O. 214f. darlegt, das erste Beispiel einer Bewegungs-G. Es beruhte auf einer Vorrichtung, die sich als Rechteck mit zwei festen und zwei in paralleler Lage verschiebbaren Seiten bezeichnen läßt. Bei der Handhabung kam es auf die Geschicklichkeit des Benutzers an, der versuchsweise gewisse Lagenverhältnisse der Teile des Apparates hervorbringen mußte (ebd. 337); vgl. Vorlage:SperrSchrift a. a. O. 71f. Vorlage:SperrSchrift a. a. O. 49ff. Vorlage:SperrSchrift a. a. O. 115f.

IV. Über die Lösung durch Eudoxos ist oben in diesem Artikel § 9 berichtet worden. Außer Vorlage:Seite auf Vorlage:SperrSchrift und Vorlage:SperrSchrift (ebd. § 9 a. E.) ist hier noch auf Vorlage:SperrSchrift 32ff. und Vorlage:SperrSchrift 135ff. zu verweisen.

V. Menaichmos, der Schüler des Eudoxos, hat zwei Lösungen, die eine durch eine Parabel in Verbindung mit einer Hyperbel, die andere durch zwei Parabeln, aufgestellt. Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 92–98 teilt uns zu diesen Lösungen sowohl die Analysis wie die Synthesis mit; vgl. Vorlage:RE siehe bei Procl. in I. elem. 111, 20. Vorlage:SperrSchrift 217f. Vorlage:SperrSchrift 37ff. Vorlage:SperrSchrift 71. Vorlage:SperrSchrift 137ff.

VI. Eratosthenes benutzte einen Apparat, den er Vorlage:Polytonisch nannte (Papp. synag. III 54, 31). Ein feststehendes dünnes Metalltäfelchen in Form eines Oblongum hatte rechts neben sich zwei andere ebenfalls rechtwinklige Metalltäfelchen, die parallel mit der aufrechtstehenden Seite des ersten Täfelchens verschoben werden konnten. Es bedurfte nur einiger Geschicklichkeit des Benutzers, um zu zwei gegebenen Geraden zwei mittlere Proportionalen vor Augen zu führen. Eratosthenes bei Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 102–114. Vorlage:SperrSchrift 315f. Vorlage:SperrSchrift II (Fortsetzung des oben angeführten Progr. von Seitenstetten, Linz 1896) 57ff. Vorlage:SperrSchrift Modena Accad. di Scienze XI, ser. II (1895) 145f.

Statt Vorlage:Polytonisch, einer ähnlichen Form wie Vorlage:Polytonisch bei Ptolem. synt. V 353, 13. 354, 2. 14, hat Vitruv. IX 214, 9 Rose mesolabium.

VII. Apollonios, s. o. Bd. II S. 158, 45–52 und vgl. Vorlage:SperrSchrift Apollonios of Perga CXXVf. Vorlage:SperrSchrift II 70.

VIII. Die Muschellinie (Vorlage:Polytonisch oder Vorlage:Polytonisch) des Vorlage:RE siehe (s. d.) diente außer zur Dreiteilung des Winkels (o. § 7) auch zur Konstruktion von zwei mittleren Proportionalen. Die Linie wurde beschrieben durch ein sinnreich erfundenes Instrument, das aus drei mit einander verbundenen Linealen bestand. Zwei derselben waren senkrecht zu einander fest verbunden und das eine mit einer Ritze und einem darin verschiebbaren Zäpfchen versehen, während das dritte, ebenfalls durch eine Ritze durchbrochen und an dem einem Ende mit einem Zäpfchen versehen, durch allmähliche Verschiebung die Muschellinie aufzeichnete. Eutoc. in Archim. de sphaer. et cyl. II 114–126. Papp. synag. IV 242, 13–250, 32. Vorlage:SperrSchrift 334ff. Vorlage:SperrSchrift II 74ff. Vorlage:SperrSchrift 200ff.

IX. und X. Die Methoden Philons und Herons haben sich an Apollonios angeschlossen. Papp. synag. III 54, 28–56, 5. Vorlage:SperrSchrift II 66ff. Philon hat seine Lösung im ersten Buche der Vorlage:Polytonisch, das den besonderen Titel Vorlage:Polytonisch führte, mitgeteilt und eine kürzere Darstellung im vierten Buche wiederholt. Eutoc. a. a. O. 72, 22–76, 21. Philon mech. synt. IV 51, 50–52, 27 Schoene. Vorlage:SperrSchrift II 68–70. Das Verfahren Herons ersehen wir aus dem ersten Buche seiner Mechanik S. 22, 27–26, 23 der arabisch-deutschen Ausgabe von Vorlage:SperrSchrift und Vorlage:SperrSchrift und aus den Resten der Vorlage:Polytonisch bei Papp. synag. VIII 1070, 7–1072, 29. III 62, 14–64, 18 (vgl. ebd. 56, 11). Eutoc. a. a. O. 70, 3–72, 21; vgl. Vorlage:SperrSchrift 350f. Vorlage:SperrSchrift II 66ff.

XI. Über die Vorlage:Polytonisch oder nach Geminos Vorlage:Polytonisch des Diokles s. o. Bd. V S. 813. Vorlage:Seite Geminos bei Procl. in I. elem. 128, 4. 152, 8. 177, 2. 187, 20f. Eutoc. a. a. O. 78, 18–82, 29. Vorlage:SperrSchrift 338ff. Vorlage:SperrSchrift II 83ff. Vorlage:SperrSchrift 2O5ff.

XII. Vorlage:RE siehe bei Eutoc. a. a. O. 90, 4–92, 17 hat sich eng an Diokles angeschlossen. Vorlage:SperrSchrift II 89.

XIII. Die Lösung eines ungenannten Geometers teilt Papp. synag. III 31–48 mit. Trotz der ablehnenden Haltung des Berichterstatters findet Vorlage:SperrSchrift II 89ff. darin einen sehr beachtenswerten Versuch einer näherungsweisen Lösung.

XIV. Die Lösung des Pappos synag. III 64, 19–68, 16. VIII 1070, 7–1072, 29 ist identisch mit der des Diokles. Eutoc. a. a. O. 88, 4f. Wie Vorlage:SperrSchrift II 87ff. im Anschluß an Eutokios nachweist, besteht ein Unterschied nur darin, daß Pappos keinen Gebrauch von einer kontinuierlichen Kurve macht, sondern die Punkte derselben mittelst eines Instrumentes näherungsweise bestimmt, wie er ja überhaupt sich vorgenommen hatte, nur mechanische Lösungen des geometrisch so schwer darstellbaren Problems zu bringen. Den Text im achten Buche des Pappos wiederholt mit geringen Abweichungen Eutoc. 84, 1–88, 3 unter der Aufschrift Vorlage:Polytonisch, womit die Überschrift bei Papp. VIII 1022, 3 Vorlage:Polytonisch zu vergleichen ist. Die Abweichungen vom Pappostexte bei Eutokios verzeichnet Vorlage:SperrSchrift zu Eutoc. 85, 1.

12. Alle diese Lösungsversuche, auf welche so viel Scharfsinn und erfinderischer Geist verwendet worden ist, können nur zu unvollkommenen Annäherungen führen, wenn es gilt, aus einer gegebenen Zahl die dritte Wurzel auszuziehen. Weit zuverlässigere Werte konnte die arithmetische Ausrechnung, obwohl man auch hier bei Annäherungen sich beruhigen mußte, ergeben. Vorlage:RE siehe Metrika III 176, 18–178, 1 Schoene berechnet nach einer eigentümlichen Annäherungsmethode $\sqrt[3]{100}$ = 4 Vorlage:Bruch. Hierzu haben Vorlage:SperrSchrift Zeitschr. f. Math. XLIV (1899) S. 1ff. des Sonderabdruckes und Vorlage:SperrSchrift ebd. 3 eine allgemeine Lösungsformel aufgefunden, wonach der erstere $\sqrt[3]{2}=1+\frac{2\cdot 1}{2\cdot 1+1\cdot 6}$ = 1 Vorlage:Bruch = 1,25 berechnet hat. Das bleibt allerdings merklich hinter der genaueren Annäherung 1,Vorlage:Sub zurück. Ehe die Heronische Methode bekannt wurde, hatte ich für $\sqrt[3]{2000}$ nach der binomischen Formel die sehr günstige Annäherung 12 Vorlage:Bruch gefunden und als den 10. Teil hiervon $\sqrt[3]{2}$ auf 1,Vorlage:Sub, d. i. auf die dreistellige Annäherung an 1,Vorlage:Sub bestimmt.

13. Ansehnliche Literaturreste sind uns über die ,geometrischen Voraussetzungen‘, Vorlage:Polytonisch erhalten. Jede Wissenschaft, so äußert sich Procl. in I. elem. 75ff., müsse ihre bestimmten Anfänge und Voraussetzungen (Vorlage:Polytonisch) haben. Bei der G. seien dies die Vorlage:Polytonisch im engeren Sinne, d. i. die Vorlage:Polytonisch oder Definitionen, ferner die Vorlage:Polytonisch und Vorlage:Polytonisch. Alle diese Gattungen wurden von den Stoikern unter dem gemeinsamen Namen Vorlage:Polytonisch vereinigt (ebd. 77, 2–6). Daß auch diese Stelle des Proklos, wie unzählige andere, aus Geminos geschöpft ist, ersehen wir aus 178, 1 (vgl. mit 182, 5): Vorlage:Polytonisch Vorlage:Seite Vorlage:Polytonisch, womit das ebenfalls aus Geminos geschöpfte Scholion 1 Eucl. op. V 74, 15ff. übereinstimmt, vgl. o. Vorlage:SperrSchrift § 9. Vorlage:SperrSchrift Hist. des mathém. 94–114. Vorlage:SperrSchrift Modena Accad. di Scienze XI, ser. II 19–23.

Einiges über Vorlage:Polytonisch und Vorlage:Polytonisch (die er von den Vorlage:Polytonisch unterscheidet) bemerkt Aristot. analyt. poster. I 10, 7–11; die Vorlage:Polytonisch erwähnt er ebd. 5; vgl. Procl. in I. elem. 76, 6–77, 2. Ausführlich über den Unterschied zwischen Vorlage:Polytonisch und Vorlage:Polytonisch handelt Geminos bei Procl. a. a. O. 178ff. An die Stelle des Aristoteles knüpft Geminos ebd. 183, 13–20 eine kurze Polemik gegen Apollonios.

Vorlage:RE siehe hat in einer Streitschrift gegen den Epikureer Vorlage:RE siehe von Sidon (Procl. 217, 24–218, 2) verschiedene Untersuchungen über die Euklidischen Definitionen, Postulate und Axiome angestellt (Procl. 199, 14–200, 3). Über seine Definition des Punktes s. Anarit. in decem libr. priores elem. 3, 23–25 Curtze, der Parallelen Procl. 176, 6–17 (vgl. u. § 15), des geometrischen Vorlage:Polytonisch ebd. 143, 8–21, über die Unterscheidung von Vorlage:Polytonisch (nämlich eines Theorems) und Vorlage:Polytonisch ebd. 8, 15–20 und u. § 16.

14. Der Winkel wurde von den Pythagoreern Vorlage:Polytonisch, d. i. Spitze oder Ecke, benannt, Heron defin. 17. Procl. in Plat. remp. II 26, 18–21. Schon in der zweiten Hälfte des 4. Jhdts. v. Chr. hat Eudemos von Rhodos über den Winkel geschrieben, s. o. [[RE:Eukleides 7|Vorlage:SperrSchrift]] § 9, Abs. 4. Später ist Apollonios von Perge, wie Geminos bei Procl. in I. elem. 123, 15–17 mitteilt, gegen die 8. Definition des Euklid mit der Behauptung aufgetreten, der Winkel sei keine Vorlage:Polytonisch von zwei Ebenen oder Geraden zu einander, sondern das Zusammentreffen einer Fläche oder eines (von Flächen umschlossenen) Körpers unter einer gebrochenen Linie oder Fläche. Hieran knüpft Procl. 123ff. eine längere Erörterung, in welcher er, auf seinem Lehrer Vorlage:RE siehe fußend, gegen Apollonios Stellung nimmt. Auch von Anarit. in decem libr. priores elem. Eucl. 12, 31. 13, 9 Curtze wird diese Definition des Apollonios erwähnt; doch weiß Anaritius, der hier den Kommentar des Simplikios zum ersten Buche der Elemente benützt hat, weiter zu berichten, daß Apollonios selbst seine Definition als nicht für alle Fälle gültig erkannt und Ausnahmen dazu statuiert habe, wodurch dann Geminos zu einer neuen, von der Apollonischen abweichenden Definition geführt worden sei. Alle diese nachträglichen Erörterungen, die zu leeren Schulstreitigkeiten ausarteten, haben nicht vermocht, die Euklidische Definition des Winkels umzustoßen.

Über die Winkel, welche eine Gerade mit einer Kreisperipherie bilden kann, ist o. [[RE:Eukleides 7|Vorlage:SperrSchrift]] § 13, Abs. 1, berichtet worden. Dort wurde auch die Vorlage:Polytonisch (Geminos bei Procl. in I. elem. 104, 18 usw.) erklärt. Wenn diese Benennung, wofür einige Wahrscheinlichkeit spricht, von Apollonios herrührt, so hat sie in dessen Vorlage:Polytonisch (o. Bd. II S. 159. 11–18) gestanden.

15. Daß es eine Theorie der Parallellinien schon vor Euklid gegeben hat, ist in jenem Artikel § 9, Abs. 4, nachgewiesen worden. Bei Vorlage:Seite Euklid gilt die 23. Definition den Parallelen. Das von Neueren sog. 11. Axiom, das von Vorlage:SperrSchrift The Elements of Euclid als 12. gezählt wird, ist in der Ausgabe von Vorlage:SperrSchrift das 5. Vorlage:Polytonisch des ersten Buches der Elemente.

Später haben über Parallelen geschrieben Poseidonios (Procl. in I. elem. 176, 6–17), Geminos (ebd. 176, 18–177, 25. Anarit. in decem libr. priores elem. Eucl. 26f.), Ptolemaios (Procl. 365f. 367f.). Simplikios bei Anarit. 25f.

16. Zu den ersten Voraussetzungen der G. gehörte auch die Unterscheidung von Vorlage:Polytonisch und Vorlage:Polytonisch. Recht gewundene Erklärungen, die von Zenodotos und seinen Anhängern im Anschluß an die Schule des Vorlage:RE siehe ausgegangen sind, teilt Procl. in I. elem. 80, 15–20 mit. Poseidonios sah in der Vorlage:Polytonisch die Frage darnach, ob ein Gewisses statt hat oder nicht, und in dem Problem das Suchen darnach, was vorliegt oder von welcher Beschaffenheit es ist, Procl. a. a. O. 80, 20–81, 4. Geminos bei Procl. 81 wies darauf hin, daß schon durch die Schlußformeln zu den Sätzen Euklids Vorlage:Polytonisch und Vorlage:Polytonisch der wesentliche Unterschied gegeben sei. Bei den Theoremen beabsichtigen wir zu erkennen, was aus den Voraussetzungen folgt, bei den Problemen wird uns aufgegeben, etwas herbeizuschaffen und ans Licht zu bringen. Gemin. a. a. O. 178, 24–179, 2. 200, 21–201, 18, vgl. Vorlage:RE siehe Eucl. op. V 114, 21–115, 21. Papp. synag. III 30, 3–12. VII 650, 16–18.

Sowohl das Theorem als das Problem zerfällt in die folgenden Teile, von denen vorkommendenfalls der zweite Teil mit dem ersten zusammenfällt und der dritte ausbleibt: I. Vorlage:Polytonisch (propositio), II. Vorlage:Polytonisch, III. Vorlage:Polytonisch, IV. Vorlage:Polytonisch (constructio). V. Vorlage:Polytonisch (demonstratio) und dazu als abschließender Rückblick das Vorlage:Polytonisch, Geminos bei Procl. 203–210. Schol. Eucl. op. V 115, 21–116, 19.

Auch über das Vorlage:Polytonisch als Hilfssatz zu einem Beweise stellt Geminos a. a. O. 211, 1–212, 4 einiges zusammen, vgl. Vorlage:RE siehe Eucl. op. V 117, 13–15. Vorlage:REAutor