Schwere, Elektricität und Magnetismus:361

Die Kugelfunction $n$ten Ranges.

<section begin=t1 />dieser Reihe soll Null sein. Dazu ist nöthig und hinreichend, dass man für sich gleich Null setze, was mit $\cos m\phi$ und was mit $\sin m\phi$ multiplicirt ist, und zwar für jedes ganze $m$ von $0$ bis $n$.

Vorlage:Idt2Durch Ausführung der Rechnung ergeben sich zur Bestimmung von $G_{nm}$ und von $H_{nm}$ die gewöhnlichen Differentialgleichungen

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Beide Gleichungen sind in derselben Form enthalten, nemlich in der Form

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Nun bemerken wir, dass $G_{nm}$ und $H_{nm}$ in der Gleichung (3) mit $\cos m\phi$ und resp. $\sin m\phi$ multiplicirt auftreten. Dem Cosinus und dem Sinus von $m\phi$ entspricht aber als höchste Potenz von $\cos \phi$ und resp. $\sin \phi$ die $m$te Potenz. Da nun in dem Ausdrucke für $Q_n$ die letztgenannten beiden Functionen nur in der Verbindung

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auftreten, so hat man sich darauf gefasst zu machen, dass in $Q_{nm}$ der gemeinschaftliche Factor $\sin {\theta }^m$auftreten werde.

Vorlage:Idt2Wir setzen also

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und erhalten zur Bestimmung der Function $F(\cos \theta )$ aus (4) die Differentialgleichung

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wenn zur Abkürzung $\cos \theta =u$ gesetzt wird. Die Form dieser Gleichung weist uns darauf hin, eine Entwicklung nach absteigenden Potenzen von $u$ mit der Exponentundifferenz $2$ vorzunehmen:

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Führt man dies in (6) ein, so ist $u^p$ die höchste dort auftretende Potenz von $u$. Dieselbe ist multiplicirt mit

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<section end=t1 />