Schwere, Elektricität und Magnetismus:270

Sechster Abschnitt. §. 70.

<section begin=t1 />

§. 70. Herstellung der Function $V$.

Vorlage:Idt2Der Satz von Green (§. 20) lässt sich hier folgendermaassen verwerthen.

Vorlage:Idt2Wir setzen

Vorlage:MathForm1

und

Vorlage:MathForm1

Vorlage:Idt2Der Raum $T$, welcher für uns in Betracht kommt, wird begrenzt von den beiden Seiten der Fläche $S$ und von zwei Kugelflächen, von denen die eine mit dem Radius $r=R$, die andere mit dem Radius $r=c$ um den Punkt $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ als Mittelpunkt construirt ist, und zwar für $\lim R=\mathrm{\infty }$ und $\lim c=0$.

Vorlage:Idt2Hier treffen alle Voraussetzungen des §. 21 zu mit der einen Modification, dass $U$ in der Oberfläche des Raumes $T$ nicht überall Null ist. Durch Wiederholung des dort angewandten Verfahrens gelangt man demnach zu der Gleichung

Vorlage:MathForm1

und es bezeichnet $V^{\prime }$ den Werth von $V$ im Punkte $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$. Das Raumintegral ist Null vermöge der Gleichung (4) des vorigen Paragraphen. Das Oberflächen-Integral ist auszudehnen über die Kugel vom Radius $R$ und über die beiden Seiten der Fläche $S$.

Vorlage:Idt2Für die Kugelfläche fällt die nach dem Innern des Raumes $T$ gezogene Normale in die Richtung der abnehmenden $r$. Folglich kann das über diese Kugelfläche erstreckte Integral geschrieben werden:

Vorlage:MathForm1

wobei $d\omega$ das Element einer Kugelfläche vom Radius 1 bezeichnet. Nun steht für $\lim R=\mathrm{\infty }$ sowohl $U$ als $V$ in endlichem Verhältnis zu $\frac{1}{R}$. Folglich wird

Vorlage:MathForm1

<section end=t1 />