Schwere, Elektricität und Magnetismus:130

Zweiter Abschnitt. $. 27.

<section begin=t1 />Radius aufzufassen. Dem Werthe $s=\mathrm{\infty }$ entspricht dann nur ein einziger Punkt, welcher auf der unendlich grossen Kugel dem Nullpunkte diametral gegenüberliegt.

Vorlage:Idt2Wir zeichnen in der Zahlenebene eine in sich zurücklaufende Linie

$L$

(Fig. 18), welche sich selbst nicht durchschneidet und einen

Datei:Riemann Fig 18.png

Fig. 18.

Theil der Ebene vollständig begrenzt. Innerhalb dieses abgegrenzten Theiles soll die Axe der positiven

$\xi$

von

$s=\sigma$

bis

$s=\mathrm{\infty }$

liegen, ausserhalb dagegen die Punkte, welche die beiden negativen Wurzeln der Gleichung (2) des vorigen Paragraphen repräsentiren. Dann liegen auch die beiden Punkte der Abscissenaxe

$(s=-{\beta }^2)$

und

$(s=-{\gamma }^2)$

ausserhalb. Der Punkt

$s=0$

soll nur dann innerhalb des abgegrenzten Gebietes liegen, wenn

$\sigma ={\sigma }^{\prime }$

und

${\sigma }^{\prime }=0$

ist, d. h. wenn

$x=0$

und

$\frac{y^2}{{\beta }^2}+\frac{z^2}{{\gamma }^2}<1$

.

Vorlage:Idt2Wir wollen nun zunächst in dem Ausdrucke für $X$ den reellen Integrationsweg durch einen complexen ersetzen.

Vorlage:Idt2Für jeden Werth, den die Variable $s$ annimmt, hat die Function

Vorlage:MathForm1

zwei Werthe, weil die Quadratwurzel zweideutig ist. Diese beiden Werthe sind innerhalb des abgegrenzten Flachenstückes an zwei Stellen einander gleich, und zwar $=0$, wenn nemlich $s=\sigma$ und wenn $s=\mathrm{\infty }$. Für alle übrigen Werthe von $s$ innerhalb und auf der Begrenzung des Flächenstückes soll nur ein Werth von $f(s)$ in Betracht gezogen werden, und zwar nach folgender Vorschrift. Wir zerschneiden die Zahlenebene längs der reellen Zahlenaxe von $s=\sigma$ bis $s=+\mathrm{\infty }$ und setzen fest, dass die Variable $s$ bei ihrer Bewegung in der Ebene diesen Schnitt nicht überschreiten, wohl aber umgehen darf. Soll sie also die reelle Zahlenaxe von $\sigma$ bis $\mathrm{\infty }$ durchlaufen, so ist zu unterscheiden, ob dies unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten oder auf der linken Seite geschieht. Für solche Werthe von $s$ ist $f(s)$ reell. Wir setzen fest, dass der positive Werth von $f(s)$ genommen werden soll, wenn $s$ unendlich nahe an dem Schnitt auf der rechten (unteren) Seite liegt, und der negative Werth von $f(s)$, wenn $s$ unendlich nahe an dem<section end=t1 />