Schwere, Elektricität und Magnetismus:115

Anziehung eines homogenen elliptischen Cylinders.

<section begin=t1 />als Potentialfunction für den Fall, dass im Innern des Cylinders die Dichtigkeit $=0$ ist von $x=-\mathrm{\infty }$ bis $x=0$ und von $x=+a$ bis $x=+\mathrm{\infty }$, dagegen $=\rho$ von $x=0$ bis $x=a$. Dieser Fall ist der unserer Aufgabe.

Vorlage:Idt2Wir setzen

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und sehen $s$ als Unbekannte an sowohl in der Gleichung

Vorlage:MathForm1

als auch in der Gleichung

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Vorlage:Idt2Beide Gleichungen sind vom dritten Grade. Dass sie lauter reelle Wurzeln haben, beweist man auf demselben Wege wie für die Gleichung $F(s)=0$ in §. 24.

Vorlage:Idt2So lange $x$ von Null verschieden ist, hat die Gleichung (2) dieselben Wurzeln wie die Gleichung $\frac{t-x^2}{s}=0$. Nimmt man also $s$ als Abscisse und $\frac{t-x^2}{s}$ als Ordinate einer Curve (Fig. 15), so sieht man, dass bei stetig wachsendem $s$ die Ordinate von $+\mathrm{\infty }$

Datei:Riemann Fig 15.png

Fig. 15.

auf $-\mathrm{\infty }$ springt an den drei Stellen $s=-{\beta }^2,s=-{\gamma }^2,s=0$. Ist ${\beta }^2>{\gamma }^2$, so schneidet die Curve die Abscissenaxe je einmal zwischen $-{\beta }^2$ und $-{\gamma }^2$, zwischen $-{\gamma }^2$ und $0$, und zwischen $0$ und $+\mathrm{\infty }$. Die grösste Wurzel der Gleichung (2) ist also positiv. Wir bezeichnen sie mit $\sigma$.

Vorlage:Idt2Die Gleichung (3) hat eine Wurzel $=0$. Die beiden anderen finden sich, wenn man<section end=t1 />