Schwere, Elektricität und Magnetismus:104

Zweiter Abschnitt. §. 24.

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durchaus negativ ist. Die Curve schneidet demnach die Abscissenaxe je einmal zwischen $-a^2$ und $-b^2$, zwischen $-b^2$ und $-c^2$ und zwischen $-c^2$ und $+\mathrm{\infty }$. Die Werthe von $s$ an diesen drei Schnittstellen sind die Wurzeln der Gleichung $F(s)=0$. Nun ist aber, wie schon hervorgehoben, $F(0)$ positiv oder Null oder negativ, je nachdem der Punkt $(x,y,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt, oder in seiner Oberfläche, oder innerhalb. Daraus ergibt sich leicht für die Gleichung $F(s)=0$, dass ihre grösste Wurzel positiv ist im ersten, Null im zweiten, negativ im dritten Falle. Die beiden anderen Wurzeln sind immer negativ. Wir wollen mit $\sigma$ nur die grösste Wurzel der Gleichung $F(s)=0$ bezeichnen.

Vorlage:Idt2Zur Abkürzung werde

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gesetzt. Betrachtet man in der Gleichung $F(\sigma )=0$ die vier Grössen $x,y,z,\sigma$ als variabel und $\sigma$ als Function von $x,y,z$ so ergibt sich durch Differentiation

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Vorlage:Idt2So lange der Punkt $(x,y,z)$ ausserhalb oder in der Oberfläche des Ellipsoids liegt, sind die Grössen $a^2+\sigma ,b^2+\sigma ,c^2+\sigma$ positiv und verschieden von Null. Die Grösse $l$ ist positiv und wird nur dann zu Null, wenn entweder $x=y=z=0$ oder wenn eine dieser Coordinaten unendlich gross ist. Wir wollen die Function $\sigma$ nur für solche Punkte $(x,y,z)$ betrachten, die ausserhalb oder in der Oberfläche liegen. Unter dieser einschränkenden Voraussetzung sind $\frac{\partial \sigma }{\partial x},\frac{\partial \sigma }{\partial y},\frac{\partial \sigma }{\partial z}$ endlich und stetig variabel, so lange $x,y,z$ endlich sind. Die Function $\sigma$ ist deshalb ebenfalls stetig variabel. Sie ist unter der eben gemachten Voraussetzung positiv und bleibt endlich, so lange keine von den Coordinaten $x,y,z$ unendlich gross genommen wird. Für einen unendlich entfernten Punkt $(x,y,z)$ ist $\sigma =+\mathrm{\infty }$.

Vorlage:Idt2Der Ausdruck für die Potentialfunction soll hier nicht abgeleitet werden. Wir wollen ihn als gegeben ansehen und den Beweis führen, dass er allen Bedingungen genügt, durch welche die<section end=t1 />