Schwere, Elektricität und Magnetismus:081

Recapitulation.

<section begin=t1 />Derivirte $\frac{\partial V}{\partial p}$ändert sich sprungweise beim Durchgang durch die Fläche, und zwar so, dass

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Mit $\rho$ ist die Dichtigkeit in dem Punkte der Fläche bezeichnet, auf dessen Normale die unendlich kleinen Abstände $+\epsilon$ und $-\epsilon$ gezählt werden.

Vorlage:Idt2Bei stetiger Vertheilung der Masse in einer Linie (§. 16) genügt die Potentialfunction $V$ im ganzen unendlichen Raume der Differentialgleichung (1). Sie ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,y,z)$ in endlicher Entfernung von der anziehenden Linie bleibt. Nimmt man seinen Abstand $t$ von der Linie unendlich klein, so wird die Function $V$ unendlich wie $2\rho \lg \frac{1}{t}$, und es gilt demnach die Gleichung:

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Hier bedeutet $\rho$ die Dichtigkeit an der Stelle der anziehenden Linie, in welche der Punkt $(x,y,z)$ für $t=0$ hineinrückt.

Vorlage:Idt2Ist endlich die Masse $m$ in einem Punkte concentrirt, so gilt für den ganzen unendlichen Raum die partielle Differentialgleichung (1). Die Function $V$ ist endlich und stetig variabel, so lange der Punkt $(x,y,z)$ in endlicher Entfernung von dem anziehenden Punkte liegt. Bezeichnet $r$ diese Entfernung, so findet sich leicht

Vorlage:MathForm1

und diese Gleichung gilt noch fur $r=0$.

Vorlage:Idt2Je nach der Art der Massenvertheilung gilt also neben der partiellen Differentialgleichung (1) noch eine von den Gleichungen (2), (3), (4), (5). Zur vollständigen Bestimmung der Function $V$ sind nun noch Gleichungen hinzuzufügen, in denen sich ausspricht, was aus der Function und ihren ersten Derivirten wird, wenn der Punkt $(x,y,z)$ in unendliche Entfernung rückt.

Vorlage:Idt2Wir setzen

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und bemerken, dass

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<section end=t1 />