Schwere, Elektricität und Magnetismus:051

Satz von Gauss.

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Vorlage:Idt2Wir denken uns nun die gesammte anziehende Masse, die gleich der Einheit genommen werden möge, in einem Punkte $(a,b,c)$ concentrirt, der entweder innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche des Raumes T liegen soil. Der Punkt $(a,b,c)$ übt auf den Punkt $(x,y,z)$ eine Anziehung, deren Componente in der Richtung der wachsenden $n$ mit $N$ bezeichnet werden möge. Man findet

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wenn $r$ den Abstand des Punktes $(x,y,z)$ von dem Punkte $(a,b,c)$ bezeichnet, also

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Die Linie $r$ ist von dem Punkte $(x,y,z)$ nach dem Punkte $(a,b,c)$ hingezogen, und unter $(rn)$ ist der Winkel zu verstehen, welchen diese Richtung mit der Richtung der wachsenden $n$ einschliesst. Für den Cosinus dieses Winkels ergibt sich

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Mit $d\sigma$ soll ein Element der Oberflache von $T$ bezeichnet werden, und der Punkt $(x,y,z)$ soll in der Begrenzungslinie dieses Elementes liegen, so dass für ihn $n=0$ ist. Es handelt sich darum, den Werth des Integrals

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zu ermitteln, wenn die Integration über die ganze Oberfläche von $T$ erstreckt wird. Zu dem Ende betrachten wir $d\sigma$ als die Basisfläche eines Kegels, dessen Spitze im Punkte $(a,b,c)$ liegt. Die conische Oberfläche wird dadurch erzeugt, dass man einen von $(a,b,c)$ ausgehenden beweglichen Radius vector längs der Begrenzung von $d\sigma$ hingleiten lässt. Beschreibt man nun (Fig. 6.) um $(a,b,c)$ als Mittelpunkt mit dem Radius $r$ eine Kugelfläche, so schneidet der eben construirte Kegel aus ihr ein Flächenelement heraus, welches als die rechtwinklige Projection von $d\sigma$ angesehen werden kann. Denn wegen der unendlich kleinen Dimensionen darf man sowohl $d\sigma$, wie das Element der Kugelfläche als ebene<section end=t1 />