Schwere, Elektricität und Magnetismus:037

Die Function $V$ und ihre ersten Derivirten für einen inneren Punkt.

<section begin=t1 />Raumes ganz beliebig gewählt werden kann, oder - was dasselbe sagt - in der Gleichung dieser Oberfläche

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die Function $f$ völlig willkürlich ist. Bezeichnet man mit ${\rho }_1$ den grössten, mit ${\rho }_2$ den kleinsten Werth, welchen die Dichtigkeit $\rho$ überhaupt annimmt, so findet sich

Vorlage:MathForm1

Der zu grosse und der zu kleine Werth sind unbestimmt, so lange $\epsilon$ endlich bleibt. Fragt man aber nach dem Grenzwerthe für ein unendlich abnehmendes $\epsilon$, so kann von einem solchen nicht die Rede sein, weil $\lim \lg \epsilon =-\mathrm{\infty }$ ist für $\lim \epsilon =0.$

Vorlage:Idt2Die Integrale in (6) haben also gar keine Bedeutung, wenn der Punkt $(x,y,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt.

Vorlage:Idt2Wollte man in (4) und (5) bei der Integration nach $r$ zunächst $\epsilon$ als untere Grenze nehmen, so fände sich

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und ferner

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Vorlage:Idt2Auch hier sind die zu grossen und die zu kleinen Werthe unbestimmt, so lange $\epsilon$ endlich bleibt. Diese Unbestimmtheit fällt aber bei unendlich abnehmendem $\epsilon$ weg, weil das von $\epsilon$ Abhängige den Grenzwerth Null hat.

Vorlage:Idt2Um die zweiten Derivirten von $V$ auch für den Fall zu ermitteln, dass der angezogene Punkt $(x,y,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt, wollen wir zunächst die Ausdrücke für $\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}$ transformiren und erst nachher die neue Differentiation vornehmen.<section end=t1 />