Schwere, Elektricität und Magnetismus:062

Erster Abschnitt. §. 14.

<section begin=t1 />tegration von $0$ bis $S$ in Beziehung auf $s$ und von $0$ bis $2\pi$ in Beziehung auf $\phi$ auszudehnen. Nun lässt sich leicht zeigen, dass $V_1$ einen bestimmten, endlichen Werth hat. Denn zunächst ist die Function $\frac{\rho }{\cos \alpha }\frac{s}{r}$ innerhalb der Integrationsgrenzen überall endlich. Für $s=0$ wird freilich auch $r=0$, wenn man den angezogenen Punkt auf der Normale des Anfangspunktes der Coordinaten in diesen selbst hineinrücken lässt. Aber der Bruch $\frac{s}{r}$ kann in die Form gebracht werden

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Für $s=0$ ist auch $a=0$. Lassen wir nun auch $x$ in Null übergehen, so nimmt der positive Bruch ${\left(\frac{a-x}{s}\right)}^2$ die Form $\frac{0}{0}$ an. Welchen Werth er aber auch haben möge, so sieht man doch, dass $\frac{s}{r}$ nicht unendlich werden kann. Die Function unter dem Integralzeichen in (2) ist also innerhalb des Integrationsgebietes überall endlich, und deshalb hat auch das Integral $V_1$ einen durchaus bestimmten endlichen Werth.

Vorlage:Idt2Behält man auf der Fläche dasselbe abgegrenzte Gebiet, von welchem die Potentialfunction $V_1$ herrührt, bei, lässt aber den angezogenen Punkt von aussen her an eine andere Stelle dieses Gebiets rücken, so nimmt auch $V_1$ einen anderen, jedenfalls aber einen bestimmten, endlichen Werth an. Es lässt sich demnach eine Grösse $\delta$ angeben, die nicht unendlich gross ist und so beschaffen, dass

Vorlage:MathForm1

an welcher Stelle des abgegrenzten Gebietes der angezogene Punkt liegen möge. Wird dieser Punkt unendlich wenig in der Fläche verschoben, so gilt für die dadurch entstehende Aenderung $d{V}_1$ um so mehr die Ungleichung

Vorlage:MathForm1

Die Grösse $\delta$ lässt sich aber kleiner und kleiner machen und dem Grenzwerthe Null unaufhörlich annähern. Dazu hat man nur nöthig, den Radius $S$ unaufhörlich abnehmen zu lassen. Folglich ist

Vorlage:MathForm1

<section end=t1 />