Schwere, Elektricität und Magnetismus:042

Erster Abschnitt. §. 8.

<section begin=t1 />Integration aus. Dadurch wird die Transformation des vorigen Paragraphen zulässig und man erhält

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Die dreifachen Integrationen erstrecken sich auf den anziehenden Körper mit Ausnahme der den Punkt $(x,y,z)$ enthaltenden Kugel. Das Integral $\int \frac{\rho }{r}\cos \alpha d\sigma$ ist auszudehnen über die Oberfläche der anziehenden Masse und über die Oberfläche des ausgeschlossenen kugelförmigen Gebietes. Bezeichnen wir mit ${\rho }_1$ den grössten Werth von $\rho$ auf dieser Kugelfläche und beachten, dass $\cos \alpha$ in den äussersten Fällen $=\pm 1$ sein kann, so findet sich, dass der von der Kugel herrührende Beitrag zu dem Oberflächen-Integral einen Werth hat, der absolut genommen kleiner ist als

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d. h. kleiner als

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oder, was dasselbe sagt, kleiner als

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Folglich wird dieser Beitrag zu Null für $\epsilon =0$. Nun behalten aber die dreifachen Integrale in (1) bestimmte, endliche Werthe, wenn man den Radius $\epsilon$ der ausgeschlossenen Kugel zu Null macht. Von dem Integrale links ist dies in §. 6 bewiesen. Für das Integral rechts ergibt sich der Beweis auf demselben Wege, wenn man beachtet, dass $\frac{\partial \rho }{\partial a}$ im Innern des Integrationsgebietes überall endlich ist. Folglich gilt die Gleichung (1) auch dann noch, wenn man die dreifachen Integrale über den ganzen anziehenden Körper erstreckt und das Integral $\int \frac{\rho }{r}\cos \alpha d\sigma$ über seine Oberfläche. D. h. die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen bleibt gültig, wenn der angezogene Punkt $(x,y,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt. Auf entsprechende Weise kann man auch die Ausdrücke für $\frac{\partial V}{\partial y}$ und $\frac{\partial V}{\partial z}$ transformiren. Bezeichnen $\alpha ,\beta ,\gamma$ die drei Winkel,<section end=t1 />