Schwere, Elektricität und Magnetismus:360

Neunter Abschnitt. §. 108.

<section begin=t1 />Handelt es sich dagegen um einen Punkt im Innern der Erde, so berechnen wir nach Gleichung (7) des vorigen Paragraphen

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Im einen wie im anderen Falle ist dies in die partielle Differentialgleichung (1) einzuführen. Die Differentiationen nach $\theta$ und $\phi$ treffen nur die Functionen $Q_n$. Nachdem auch diese Differentiationen vorschriftsmässig bewirkt und die Resultate der Rechnung in (1) eingesetzt sind, hat man für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Potenz von $r$ multiplicirt ist. Dadurch erhält man für einen äusseren wie für einen inneren Punkt in gleicher Weise die partielle Differentialgleichung

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Eine Function $Q_n$, welche dieser partiellen Differentialgleichung Genüge leistet, wird eine Kugelfunction $n$ten Ranges genannt.

Vorlage:Idt2Um zu einer Entwicklung dieser Function zu gelungen, erinnern wir uns daran, dass $Q_n$ eine ganze Function $n$ten Grades von $\cos \theta ,\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi$ ist, dass also in dem zu bildenden Ausdrucke nur Potenzen mit ganzen, positiven Exponenten auftreten können und überhaupt kein Exponent grösser als $n$. Nun lassen sich aber die Potenzen von $\cos \phi$ und von $\sin \phi$ durch die Cosinus und Sinus der Vielfachen von $\phi$ ausdrücken, und da keine höhere Potenz als die $n$te vorhanden ist, so wird auch höchstens das $n$fache von $\phi$ auftreten.

Vorlage:Idt2Wir setzen deshalb

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und führen diesen Ausdruck in die partielle Differentialgleichung (2) ein. Dadurch ergibt sich eine Reihe, geordnet nach Cosinus und Sinus der Vielfachen von $\phi$, bis zum $n$fachen, und der Werth<section end=t1 />