Schwere, Elektricität und Magnetismus:356

Neunter Abschnitt. §. 106.

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und es ist

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Datei:Riemann Fig 50.png

Fig. 50.

Die Integration in (3) ist über die ganze Erdoberfläche zu erstrecken. Der Winkel

$\gamma$

wird auf der Hülfskugel vom Radius 1 gemessen durch den Bogen eines grössten Kreises. Dieser Bogen (Fig. 50) ist die dritte Seite eines sphärischen Dreiecks, dessen beide andere Seiten

$\theta$

und

${\theta }^{\prime }$

den Winkel

$\phi -{\phi }^{\prime }$

einschliessen. Folglich gilt für

$\cos \gamma$

die Formel:

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Die Dichtigkeit ${\rho }^{\prime }$ ist eine Function von ${\theta }^{\prime }$ und ${\phi }^{\prime }$. Wir haben ${\theta }^{\prime }$ variabel von $0$ bis $\pi$ und ${\phi }^{\prime }$ variabel von $0$ bis $2\pi$ zu nehmen. Die Function

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ist nun freilich a priori nicht bekannt. Folglich geben uns die Gleichungen (3) und (4) auch nicht ohne weiteres die Werthe von $V$ im ganzen unendlichen Raume. Sie machen uns aber darauf aufmerksam, dass $V$ sich nach ganzen Potenzen von $r$ entwickeln lässt. Die Coefficienten der Entwicklung sind Functionen von $\theta$ und $\phi$, deren Form wir aus den Bedingungen zu bestimmen haben, dass $V$ im äusseren Raume sowohl wie im Innern der Erdkugel der Gleichung von Laplace Genüge leisten muss und beim Durchgange durch die Erdoberfläche nicht unstetig werden darf [§. 79 (1), §. 80 (1) und (2)]. Ist hiernach die Entwicklung von $V$ vollständig durchgeführt, so treten darin unendlich viele constante Coefficienten auf, die vorläufig unbestimmt sind. Sie erhalten dadurch bestimmte Werthe, dass die so entwickelte Function $V$ an jeder Stelle der Erdoberfläche mit der dort gegebenen Potentialfunction $V^{*}$ übereinstimmen soll.<section end=t1 />