Schwere, Elektricität und Magnetismus:367

Fundamentalsatz für die Entwicklung nach Kugelfunctionen.

<section begin=t1 />

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Der freie Theil der rechten Seite ist Null, weil $\sin \theta =0$ für $\theta =0$ und für $\theta =\pi$. Folglich haben wir

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Fasst man die Gleichungen (7), (8) und (9) zusammen, so ergibt sich

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Genau dasselbe, was auf der rechten Seite dieser Gleichung steht, kömmt aber zu Stande, wenn man das Integral (6) mit $m(m+l)$ multiplicirt und hierauf das Product $m(m+1)S_m$ ersetzt durch

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was zulässig ist vermöge der partiellen Differentialgleichung, der $S_m$ Genüge leistet. Man erhält also aus (10) die Gleichung

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wofür man auch schreiben kann<section end=t1 />