Schwere, Elektricität und Magnetismus:164

Zweiter Abschnitt. §. 35.

<section begin=t1 />

Vorlage:Idt2Mit Hülfe dieses Satzes ist nun leicht zu beweisen, dass für jede Gestalt des Raumes $S$ eine und nur eine Function $U$ existirt, welche die von Green aufgestellten charakteristischen Eigenschaften besitzt. Wir setzen

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wobei $r$ den Abstand des Punktes $(x,y,z)$ von dem inneren Unstetigkeitspunkte $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ der Function $U$ bezeichnet. Dann hat man $U_1$ in der Oberfläche gleich $-\frac{1}{r}$ zu nehmen und diese Function ins Innere des Raumes $S$ endlich und stetig variabel so fortzusetzen, dass

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Das kann nach dem Satze von Dirichlet immer in einer und nur in einer Weise geschehen. Da nun $\frac{1}{r}$ der Gleichung von Laplace ebenfalls genügt, so ist die in (15) ausgedrückte Function $U$ in der That die von Green verlangte. Sie ist Null in der Oberfläche von $S$, sie ist im Innern überall endlich und stetig variabel ausser im Punkte $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }),$ wo sie unendlich wird wie der reciproke Werth des Abstandes, und genügt im Innern von $S$ der Gleichung von Laplace.*) <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 35. Eine Function $V$, die der Gleichung von Laplace genügt, hat weder Maximum noch Minimum.

Vorlage:Idt2Wir wollen noch zeigen, dass eine endliche und stetige Function $V$ in keinem Theile des Raumes, wo sie die Gleichung von Laplace erfüllt, ein Maximum oder ein Minimum haben kann.

Vorlage:Idt2Die Function $V$ und die Function $(\frac{1}{r}-\frac{1}{a})$ genügen beide der Gleichung von Laplace. Nach dem Satze von Green ist also

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<section end=t2 /> Vorlage:References