Schwere, Elektricität und Magnetismus:141

Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

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Vorlage:MathForm1

unter der Voraussetzung, dass ${\sigma }^{\prime }=0$, d. h. dass $\frac{y^2}{{\beta }^2}+\frac{z^2}{{\gamma }^2}<1$ ist.

Vorlage:Idt2Damit ist bewiesen, dass $X$ auch der Bedingung (2) Genüge leistet.

Vorlage:Idt2Endlich muss $X=0$ sein, wenn der Punkt $(x,y,z)$ in unendliche Entfernung rückt. Dass dies wirklich eintrifft, ist schon in §. 26 bewiesen.

Vorlage:Idt2Die Function $X$ genügt also in der That den Bedingungen (1), (2), (3). <section end=t1 /> <section begin=t2 />

§. 29. Beispiel: Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

Vorlage:Idt2Wir wollen die Potentialfunction $V$ einer kugelförmigen Masse bestimmen, wenn die Dichtigkeit $\rho$ nicht constant ist und der Werth von $V$ in der Oberfläche als gegeben vorausgesetzt wird. Der Radius der anziehenden Kugel sei $=a$. In ihren Mittelpunkt legen wir den Anfangspunkt des rechtwinkligen Coordinatensystems.

Vorlage:Idt2Zunächst kömmt es darauf an, von den rechtwinkligen Coordinaten $x,y,z$ zu Kugel-Coordinaten $r,\theta ,\phi$ als unabhängigen Variabeln überzugehen.

Vorlage:Idt2Wir legen den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten in den Anfangspunkt des rechtwinkligen Systems. Auf der Kugel vom Radius $1$, welche diesen Punkt zum Centrum hat, wählen wir den Pol an der Stelle, welche von der Axe der positiven $z$ getroffen wird. Als Anfangsmeridian soll der vom Pol zum Gegenpol verlaufende grösste Halbkreis genommen werden, den die Axe der positiven $x$ durchschneidet. Der Punkt, dessen rechtwinklige Coordinaten $x,y,z$ sind, hat den Radiusvector $r$. Dieser schneidet die Kugel vom Radius $1$ in einem Punkte, dessen Poldistanz mit $\theta$ und dessen geographische Länge mit $\phi$ bezeichnet werden möge. Der Zusammenhang von $r,\theta ,\phi$ mit $x,y,z$ wird durch die Gleichungen ausgesprochen:

Vorlage:MathForm1

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