Schwere, Elektricität und Magnetismus:135

Vorlage:Bernhard Riemann - Schwere, Elektricität und Magnetismus Vorlage:PageDef2

Integration durch complexe Werthe der Variablen.

endlich, und der Werth dieses Integrals nähert sich der Grenze Null, wenn man den Radius des kreisförmigen Integrationsweges unendlich klein werden lässt.

Vorlage:Idt2Es bleibt also nur noch das Integral

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zu ermitteln, worin wir der Kürze wegen

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gesetzt haben. Wir führen nun Polar-Coordinaten $r, φ$ ein, so dass

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zu setzen ist $(i = \sqrt{- 1})$ . Demnach haben wir $\lg (s - σ^{'}) = \lg r + φ i$ . Für Punkte auf der Kreisperipherie ist $r$ constant, folglich

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Die Richtung des Integrationsweges ist dieselbe wie die Richtung des wachsenden Bogens. Demnach ergibt sich

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Nun darf man den Radius $r$ beliebig klein wählen. Wir lassen ihn unendlich abnehmen und erhalten

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Vorlage:Idt2Die gewonnenen Resultate beantworten die Frage, was aus der Gleichung (4) wird für $x = 0$ . Die linke Seite soll nach der Bedingung (12) des vorigen Paragraphen in Null übergehen. Auf der rechten Seite hat man für das Integral einzusetzen $(J_{1} + J_{4} + J_{3}) + (J_{2} - J_{4})$ und hierauf den Grenzwerth zu ermitteln für $\lim x = 0$ . Es ist aber, wie schon bewiesen:<section end=t1 />

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