Schwere, Elektricität und Magnetismus:134

Zweiter Abschnitt. §. 27.

<section begin=t1 /> Vorlage:Idt2Das Integral $J_2-J_4$ kann durch irgend ein anderes ersetzt werden, dessen geschlossener Integrationsweg um ${\sigma }^{\prime }$ herumführt. Wir machen ${\sigma }^{\prime }$ zum Mittelpunkt eines Kreises vom Radius $r$, der so gewählt ist, dass die Peripherie ganz in das von $L_2$ und $L_4$ begrenzte Flächenstück hineinfällt. Wenn man dann das Integral (5) in der Richtung des Pfeiles (Fig. 21) durch die Kreisperipherie erstreckt, so ist sein Werth $=J_2-J_4$. Dieses Integral bedarf noch der Untersuchung. Es ist

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daraus ergibt sich durch Subtraction

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Wir nehmen auf beiden Seiten Logarithmen und erhalten durch Differentiation

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wenn mit $\phi (s)$ eine Function bezeichnet wird, die auf der Peripherie und im Innern des Kreises endlich und stetig variabel ist, auch für $s={\sigma }^{\prime }$. Dann ist zunächst das Integral

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durch die Kreisperipherie erstreckt, unter keinen Umständen unendlich gross. Denn setzt man $x=0$, so erhält man unter dem Integralzeichen ein Product, dessen einer Factor $\frac{ds}{\sqrt{s-{\sigma }^{\prime }}}$ ist, und dessen anderer Factor auf der Kreisperipherie und im Innern des Kreises überall endlich ist. Da nun das unbestimmte Integral

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auf dem ganzen Integrationswege endlich bleibt, so ist auch, durch die Kreisperipherie erstreckt,<section end=t1 />